Ecuación general de la recta

La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax + By + C= 0, donde A, B y C son números reales.

Ejemplo:

Determinar la ecuación general de la recta y = (-3/5) x + 2.
Al igualarla a 0 se tiene que y + 3/5x -2 = 0- 5y + 3x - 10 = 0.
-3x + 5y - 10 = 0. Entonces la ecuación general de la recta es 3x + 5y - 10 = 0.

Construcción de la ecuación de la recta

La ecuación de la recta, bien sea su forma principal o en su forma general, se puede construir en cualquiera de los siguientes casos:

• Dada la pendiente de la recta y la ordenada en el origen.
• Dados dos puntos de la recta.
• Dados un punto y la pendiente de la recta.
• Dados un punto y una recta paralela o perpendicular.

Fórmula para hallar la ecuación de la recta dados dos puntos

Existe una fórmula que permite hallar la ecuación de la recta dados 2 puntos, sin necesidad de calcular de antemano la pendiente: 

Considera los puntos A (x1,y1) y B (x2, y2); la siguiente expresión representa a la recta que pasa por los puntos A y B: y - y1 = y2 - y1/x2- x1 * (x - x1)

Fórmula que permite hallar la ecuación de una recta conocida su pendiente m y un punto de ella

Sea A (x1,y1). La ecuación de la recta cuya pendiente es m que pasa A esta dada por la siguiente expresión: y - 1 = m*(x-x1).

Al aplicar la fórmula en este ejemplo, con m = 4 y A(3,4),

Se tiene que: y -4 = 4 *(x-3) - y-4 = 4x - 12 o y -4x - 8 = 0

Pendiente y ordenada en el origen

Pendiente (m) de una recta

En matematica se puede asociar la pendiente de una recta (mas o menos inclinada) con la inclinacion de dicha recta respecto al eje horizontal. La pendiente nos deja obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición indica el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

a-Función creciente: como en el caso de f(x) = 2x-3 (con m=2). a medida que aumenta el valor de la abscisa aumenta el valor de la ordenada.

b-Función decreciente: a medida que aumenta el valor de la abscisa, disminuye el valor de la ordenada como en el caso de f(x) = -x + 2 (con m= -1)

c-Función constante: esta es una recta horizontal como en el caso de f(x) = 5 (con m= 0) que corta al eje vertical en el punto (0,5) y permanece constante.

Ordenada (b) en el origen

En una función lineal y = mx + b, el número constante b se denomina ordenada en el origen de la función; pues si se hace x = 0 se obtiene y = m*0+b = b; luego (0,b) es el punto de corte del eje Y con el gráfico de a función afín, es decir, b es la ordenada del punto de corte del eje vertical con la recta dada por la función afín.

Ejemplo:

- Hallar el punto de corte de la función afín y = 5x - 8 con el eje vertical. Como b es igual a -8 entonces el punto de corte con el eje vertical es (0,-8).

Posición de rectas en el plano según sus pendientes

Si dos rectas son paralelas entonces al cortar el eje horizontal se forman dos ángulos correspondientes congruentes <) 1 = <) 2.

Tomar en cuenta:

- Dos rectas dadas por su función afín son paralelas siempre y cuando tengan la misma pendiente.
- Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de ambas pendientes es igual a -1.

Ecuación de la pendiente
Se tiene que la pendiente de una recta que pasa por dos puntos distintos P (x1,y1) y Q (x2, y2) , no situados en la misma vertical es m = y2 - y1/ x2 - x1.

Los valores de x1 y x2 deben ser distintos debido a que no se puede dividir entre 0; en caso de que fuesen iguales la recta que pasa por los puntos es vertical y no tiene pendientes.

Ejamplos:

- Hallar el valor de la pendiete de la recta que pasa por los puntos A(4,6) y B(-3,1).

m=1-6/-3-4= -5/-7 = 5/7

El valor de la pendiente de la recta que pasa por A y B es m = 5/7.
     

Función Afín

La función afín es todo función real de la forma f(x) = mx+b, cuya variable es de primer grado, y m y b son constantes reales. La representación de una función afín es una línea recta de pendiente m que pasa por el punto (0,b). si m es mayor que 0, la función es creciente: si m es menor que 0, la función es decreciente.

Ejemplos:

- La función y = 2x-3 es afín, con m = 2 y b =- 3
- La función y = 5 es afín, con m = 0 y b = 5
- La función y = 1/x no es afín, porque y = 1/x es equivalente a y = X^-1 ,y la variable tiene exponente negativo.

Representación gráfica de la función afín

La representación gráfica de una función afín en el plano cartesiano es una recta que no es vertical, y para representarla basta determinar dos de sus puntos en el plano cartesiano y trazar la recta que pasa por ellos.

Ejemplos:

- f (x) = 2x - 3
Esta es una función afín con m = 2 y b = - 3
Si se hace x = 0, entonces se tiene que f(x) = 2*0 - 3 = 0 -3 = -3
Esto indica que la recta pasa por el punto P (0.-3)
Por otro lado, f(1) = 2 * 1 - 3 = 2 -3 = -1
Luego la recta pasa por el punto Q(1 - 1)
Conocidos estos dos puntos P y Q, se traza el gráfico de la funcion afín dada

Puntos de corte con los ejes

En las funciones afines es útil determinar el valor de y primero haciendo x = 0; porque, así se obtiene el puento donde el gráfico de la función corta el eje vertical. Esto ocurre también con cualquier función.

Para determinar donde corta el gráfico de la función al eje horizontal se analiza lo siguiente: un punto esta en el eje horizintal si la distancia del punto al eje es 0, es decir, si la ordenada del punto es 0. Por lo tanto, basta hacer y = 0 en la función a 0 y así despejar x para obtener la abcisa del punto desconocido.

Es decir, si f(x) = mx + b se iguala a cero, entoces mx + b = 0 y x = - b/m.

Por lo tanto, el gráfico de la función corta el eje horizontal en el punto (x, 0), es decir, en (- b/m,0).

Ejemplo:

- y = 3x-2

Para hallar el punto de corte con la recta vertical se hace x = 0 y se despeja la x

y = 3*0 - 2 = 0 - 2= -2

Para hallar el punto de corte de la recta con el eje horizontal se hace y = 0 así:
0=3x-2→2 = 3x→ 2/3 = x→ x = 2/3
Luego el punto de corte es (2/3, 0)